Análise de resposta de impulso generalizada em modelos multivariados lineares H. Hashem Pesaran a, Yongcheol Shin ba Trinity College, Cambridge, Reino Unido b Departamento de Economia Aplicada, Universidade de Cambridge, Cambridge, Reino Unido Recebido em 29 de maio de 1997. Revisado em 17 de junho de 1997. Aceito em 3 de julho de 1997 . Disponível em linha 13 de julho de 1998. Com base em Koop, Koop et al. (1996) Análise de resposta de impulso em modelos multivariados não-lineares. Journal of Econometrics 74, 119147, propomos a análise de resposta de impulso generalizada para modelos VAR autorregressivos vetoriais irrestrito (VAR) e cointegrada. Ao contrário da análise tradicional da resposta ao impulso, nossa abordagem não requer a ortogonalização de choques e é invariante para a ordenação das variáveis na VAR. A abordagem também é usada na construção de decomposições de variância de erro de previsão invariante. Respostas de impulso generalizadas Decomposições de variância de erro de previsão VAR Cointegration Classificação JEL Fig. 1. Fig. 2. Fig. 3. Fig. 4. Autor correspondente. Endereço para correspondência: Faculdade de Economia e Política, Universidade de Cambridge, Edifício Austin Robinson, Sidgwick Avenue, Cambridge CB3 9DD, Reino Unido. Tel. 44 1223 335 216 fax: 44 1223 335 471 e-mail: MHP1econ. cam. ac. uk Copyright 1998 Elsevier Science S. A. Todos os direitos reservados. Artigos de citação () Resposta de Impulso e Convolução O processamento de sinal digital é (principalmente) uma álgebra linear aplicada. A relevância da multiplicação da matriz tornou-se fácil de entender para a correspondência de cores. Nós tínhamos dimensões fixas de 1 (número de luzes de teste), 3 (número de luzes primárias, número de fotopigmentos) e 31 (número de pontos de amostra em uma distribuição de energia espectral para uma luz ou na absorção espectral de um pigmento) E verificou-se que alguns fatos importantes sobre a visão de cores podem modelar como projeção dos vetores espectrais de maior dimensão em um subespaço psicológico de menor dimensão. Também é fácil ver como essa idéia funciona quando modelavam uma relação entre variáveis independentes (como condições experimentais) e variáveis dependentes (como respostas de assunto), ou quando tentavam classificar conjuntos de medidas multivariadas (como valores de formantes). Mas o que significa interpretar o processamento de sinais de áudio ou vídeo como multiplicação de matriz e por que queremos considerar um caso simples. O padrão de CD amostrói uma forma de onda de áudio 44,100 vezes por segundo, de modo que uma peça com duração de 2:48 contém 7.408.800 amostras (ignorando a questão do estéreo). Suponhamos que desejamos ajustar a intensidade relativa das frequências baixas, médias e altas, para compensar a acústica da sala, o nosso sistema de falantes ou o nosso gosto pessoal. As 7.408.800 amostras são elementos de um vetor que qualquer função de equalização (bem como mostra mais tarde) é linear, e qualquer transformação linear é equivalente a uma multiplicação de matriz para que possamos modelar seu efeito em um canal de nossa música como multiplicação por um 7.408.800 por Matriz 7.408.800. Tudo o que temos a fazer é multiplicar nosso vetor de coluna de 7.408.800 elementos por esta matriz, produzindo outro vetor de coluna com o mesmo número de elementos - e este será o nosso bit igualado de áudio. Se quisermos operar em uma gravação de meia hora, a escala da operação aumentaria em proporção. Isso não parece uma técnica muito prática. É conceitualmente correto, e às vezes pode ser útil pensar nas coisas dessa maneira. No entanto, isso é (não é necessário dizer) que não é como uma implementação DSP de um equalizador é realizada. Há maneiras muito mais fáceis, que são matematicamente equivalentes para sistemas com certas propriedades, cujas matrizes possuem propriedades correspondentes que permitem a implementação simples e eficiente do cálculo equivalente. Este tópico pode ser reduzido a um slogan: o efeito de qualquer sistema linear, alternativo-invariante em um sinal de entrada arbitrário é obtido por convolução do sinal de entrada com a resposta do sistema a um impulso unitário. Para ter uma idéia do que isso pode ser bom, considere algumas coisas no mundo real que são (ou, pelo menos, podem ser modeladas com sucesso como) sistemas alternativos de alternância linear: depois de entender a terminologia neste slogan, será quase Imediatamente óbvio que é verdade, então, em certo sentido, esta leitura é principalmente uma questão de aprender algumas definições. Já sabemos o que é um sistema linear. Um sistema invariante de mudança é aquele em que mudar a entrada sempre muda a saída pela mesma quantidade. Quando estavam representando sinais por vetores, então uma mudança significa um inteiro constante adicionado a todos os índices. Assim, o vetor de deslocamento v por n amostras produz um vetor w tal que w (in) v (i). Nota: há um pequeno problema aqui, é decidido o que acontece nas bordas. Assim, para uma mudança positiva n, o primeiro elemento de w deve corresponder ao menos n. ° elemento de v - mas v não está definido para índices menores que 1 (ou zero, se decidimos começar aí). Existe um problema semelhante na outra extremidade. A matemática DSP convencional resolve esse problema tratando os sinais como tendo uma extensão infinita - definida para todos os índices de infinito inferior ao infinito. Os sinais do mundo real geralmente começam e param, no entanto. Esta é uma questão bem retornar várias vezes, inclusive uma vez no final desta palestra, quando bem fornecer uma conta ligeiramente mais formal, tanto na perspectiva EEDSP quanto na perspectiva da álgebra linear. Para os sinais que são funções do tempo - ou seja, onde a sucessão de índices corresponde a uma seqüência de pontos de tempo - um sistema invariante de mudança pode ser chamado equivalentemente de um sistema invariante no tempo. Aqui, a propriedade de mudança de invariância tem um significado particularmente intuitivo. Suponhamos que investigamos algum ressonador acústico com uma entrada específica às 12:00 horas, em 25 de janeiro de 1999, e obtenha uma resposta (seja lá o que for), que gravamos. Então, examinamos o mesmo sistema novamente com a mesma entrada, às 12:00 horas, em 26 de janeiro de 1999. Esperamos gravar o mesmo resultado - acabou de mudar no horário em 24 horas. A mesma expectativa seria aplicada para uma diferença horária de Uma hora, ou um minuto. Finalmente, se atrasarmos hipoteticamente a entrada em 1 milésimo de segundo, esperamos que a saída seja adiada pela mesma quantidade e, de outra forma, não seja alterada. O ressonador não sabe a que horas são e responde da mesma maneira, independentemente de quando é Sondado. Um impulso unitário (para propósitos presentes) é apenas um vetor cujo primeiro elemento é 1 e todos cujos outros elementos são 0. (Para os sinais digitais dos engenheiros elétricos de extensão infinita, o impulso da unidade é 1 para o índice 0 e 0 para todos Outros índices, de menos infinito até infinito). Bem, trabalhe até o que é convolução dando um exemplo simples. Heres um gráfico de 50 amostras (cerca de 6 milissegundos) de uma forma de onda de fala. Estavam representando esta forma de onda como uma seqüência de números - um vetor - e, dessa perspectiva, uma representação gráfica mais adequada dos mesmos dados é um gráfico de pirulito, que nos mostra cada amostra como um pequeno pirulito que fica acima ou abaixo de uma linha zero : Permite ampliar apenas os seis primeiros desses números: Matlab nos informará seus valores específicos: Podemos pensar que esse vetor de seis elementos é a soma de seis outros vetores s1 a s6. Cada um dos quais carrega apenas um dos seus valores, sendo todos os outros valores zero: lembre-se de que um impulso (no contexto atual, de qualquer forma) é um vetor cujo primeiro elemento possui o valor 1 e todos cujos elementos subseqüentes são zero. O vetor weve chamado s1 é um impulso multiplicado por 10622. O vetor s2 é um impulso deslocado para a direita por um elemento e dimensionado em 5624. Assim, estamos decompondo s em um conjunto de impulsos escalados e deslocados. Deve ficar claro que podemos fazer isso com um vetor arbitrário. A mesma decomposição representada graficamente: por que isso é interessante, considere algum sistema arbitrário alternativo-invariante linear D. Suponha que aplicamos D (sem saber nada mais sobre isso) para um impulso, com o resultado mostrado abaixo: a primeira amostra da saída é 1, a segunda amostra é -1 e o resto das amostras são 0. Esse resultado É a resposta de impulso de D. Isso é suficiente para prever o resultado da aplicação de D aos nossos impulsos escalados e deslocados, s 1. s n. Porque D é invariante para mudança de turno. O efeito de mudar a entrada é apenas para mudar a saída pela mesma quantidade. Assim, uma entrada que consiste em um impulso unitário deslocado por qualquer quantidade arbitrária produzirá uma cópia da resposta de impulso. Deslocado pelo mesmo valor. Sabemos também que D é linear. E, portanto, um impulso dimensionado como entrada produzirá uma cópia escalonada da resposta ao impulso como saída. Usando esses dois fatos, podemos prever a resposta de D a cada um dos impulsos escalados e deslocados s 1. s n. Isso é mostrado graficamente abaixo: se nós organizamos as respostas para s1. S6 como as linhas da matriz, os números reais ficarão assim: (O arranjo dessas saídas como as linhas de uma matriz é puramente para conveniência tipográfica, note também que podemos permitir que a resposta a entrada s6 caia fora do fim do mundo , Por assim dizer) Esta informação, por sua vez, é suficiente para nos permitir prever a resposta do sistema D ao vetor original s. Que (por construção) é apenas a soma de s1 s2 s3 s4 s5 s6. Como D é linear, aplicá-lo a esta soma é o mesmo que aplicá-lo aos componentes individuais da soma e somar os resultados. Esta é apenas a soma das colunas da matriz mostrada acima: (Matlab sum, aplicado a uma matriz, produz um vetor de linhas das somas das colunas). Observe que (pelo menos para a segunda posição na soma e para a frente) Isso faz com que a saída na posição i seja igual à diferença entre a entrada na posição i e a entrada na posição i-1. Em outras palavras, D está calculando a primeira diferença de sua entrada. Deve ficar claro que o mesmo procedimento básico funcionará para qualquer sistema linear invariante de mudança, e para qualquer entrada de tal sistema: expressar a entrada como uma soma de impulsos escalados e deslocados, calcule a resposta a cada um deles, escalando e deslocando A resposta de impulso do sistema somou o conjunto resultante de respostas de impulso escalonadas e deslocadas. Este processo de somar um conjunto de cópias escalonadas e deslocadas de um vetor (aqui a resposta de impulso), usando os valores de outro vetor (aqui a entrada) como valores de escala, é convolução - pelo menos, essa é uma maneira de definir isto. Outra maneira: a convolução de dois vetores a e b é definida como um vetor c. Cujo kth elemento é (em termos MATLAB-ish) (O 1 em k1-j é devido ao fato de os índices MATLAB terem o mau gosto para começar de 1 em vez do matematicamente mais elegante 0). Esta formulação ajuda a indicar que também podemos pensar em convolução como um processo de tomar uma média ponderada em execução de uma seqüência - isto é, cada elemento do vetor de saída é uma combinação linear de alguns dos elementos de um dos vetores de entrada - - onde os pesos são retirados do outro vetor de entrada. Há alguns pequenos problemas: quanto tempo deve ser e o que devemos fazer se k 1- j for negativo ou maior que o comprimento de b. Esses problemas são uma versão dos efeitos de ponta que já sugerimos, e veremos novamente. Uma possível solução é imaginar que estamos convolvendo duas seqüências infinitas criadas pela incorporação de a e b em um oceano de zeros. Agora, valores de índice arbitrários - negativos, aqueles que pareciam muito grandes - fazem todo o sentido. O valor de uma extensão estendida e ampliada para valores de índice fora de seu alcance atual agora está perfeitamente bem definido: sempre zero. O resultado da Equação 1 será outra sequência de comprimento infinito c. Um pouco de pensamento irá convencê-lo de que a maioria dos c também será necessariamente zero, uma vez que os pesos não-zero de b e os elementos não-zero de um não coincidirão nesses casos. Quantos elementos de c têm a chance de não ser zero. Bem, apenas aqueles inteiros k para os quais há pelo menos um número inteiro j tal que 1 lt j lt comprimento (a) e 1 lt k1-j lt comprimento (b). Com um pouco mais de pensamento, você pode ver que isso significa que o comprimento de c será um menos do que a soma dos comprimentos de a e b. Referindo-se novamente à Equação 1 e imaginando os dois vetores a e b como incorporados em seus mares de zeros, podemos ver que obteremos a resposta correta se permitimos que k corra de 1 a comprimento (a) comprimento (b) - 1, e para cada valor de k. Permita que j funcione de max (1, k 1-length (b)) para min (k, comprimento (a)). Mais uma vez, tudo isso está nos termos do índice MATLAB, e assim podemos transferi-lo diretamente para um programa MATLAB myconv () para realizar convolução: isso nos dará apenas a parte do c conceitualmente infinito que tem a chance de ser diferente de zero . MATLAB tem uma função de convolução incorporada conv (), para que possamos comparar o que acabamos de escrever: como um lado, devemos mencionar que a convolução também nos dará os resultados corretos se pensarmos em a, b e c como o Coeficientes de polinômios, sendo c os coeficientes do polinômio resultantes da multiplicação de a e b juntos. Assim, a convolução é isomórfica para a multiplicação polinomial, de modo que, e. Também pode ser interpretado como significando que (2x 3) (4x 5) 8x2 22x 15 e também pode ser interpretado como significando que (3x 4) (5x2 6x 7) 15x3 38x2 45x 28 Se você acredita nisso, segue-se imediatamente da comutatividade De multiplicação que a convolução também troca (e é associativa, e distribui sobre a adição). Podemos exemplificar estas propriedades de forma empírica: estes são pontos importantes, então, se você não vê imediatamente que eles são sempre verdadeiros, passar algum tempo com a Equação 1 - ou com o operador de convolução em Matlab - e convencer-se. Nós apresentamos duas imagens de conv (a, b): em uma, adicionamos um monte de cópias escalonadas e deslocadas de uma, cada cópia escalada por um valor de b e deslocada para alinhar com a localização desse valor em b . No outro, usamos uma média ponderada de ponta, tendo b (para trás) como os pesos. Podemos ver a relação entre essas duas imagens ao expressar a Equação 1 em forma de matriz. Nós pensamos em b como a resposta de impulso do sistema, como a entrada, e c como a saída. Isto implica que a matriz para S terá dimensões de comprimento (c) por comprimento (a), se c S a deve ser legal matix-ese. Cada elemento da saída c será o produto interno de uma linha de S com a entrada a. Esta será exatamente a Equação 1 se a linha de S em questão for apenas b. Tempo invertido, deslocado e adequadamente preenchido com zeros. À medida que b desloca-se para fora da imagem, nós simplesmente mudamos em zeros do mar de zero, nos imaginamos estar flutuando. Uma pequena modificação do nosso programa de convolução produzirá a matriz necessária: assim cmat (a, b) cria um operador de matriz C que pode ser multiplicado pelo vetor a para criar exatamente o mesmo efeito que convolução de a com b: Isso funciona porque as linhas de C são adequadamente deslocadas (para trás) de cópias de b - ou equivalentemente, porque as colunas de C São adequadamente transferidas (para a frente) cópias de b. Isso nos dá as duas imagens de operadores convolucionais: A MÉDIA PONDERADA EM FUNCIONAMENTO DA ENTRADA: As linhas de C são deslocadas para trás cópias de b. E o produto interno de cada linha com um nos dará uma média ponderada de uma peça adequada de a. Que nos colocamos no local apropriado na saída c. A SUMA DE CÓPIAS ESCALADAS E SHIFTADAS DA RESPOSTA DE IMPULSO: as colunas de C são trocas de cópias de b. Tomando a outra visão da multiplicação da matriz, a saber, que a saída é a soma das colunas de C ponderadas pelos elementos de a. Nos dá a outra imagem de convolução, ou seja, adicionando um conjunto de cópias escalonadas e deslocadas da resposta de impulso b. Um exemplo maior: ao trabalhar com os detalhes da convolução, tivemos que lidar com o efeito de ponta: o fato de que a equação de convolução (Equação 1) implica valores de índice para entradas de comprimento finito a e b fora do intervalo em que são definidas . Obviamente, poderíamos escolher uma série de maneiras diferentes de fornecer os valores perdidos - a escolha particular que fazemos deve depender do que estamos fazendo. Existem alguns casos em que o conceito de mar de zero é exatamente correto. No entanto, existem situações alternativas em que outras idéias têm mais sentido. Por exemplo, podemos pensar em b como sentado em um mar de infinitas cópias repetidas de si mesmo. Uma vez que isso significa que os valores do índice fora do fim de b se envolverem para a outra extremidade de forma modular, como se b estivesse em um círculo, o tipo de convolução que resulta é chamado de convolução circular. Tenha isso em mente: voltaremos a ele em uma palestra posterior. Enquanto isso, vamos repetir o slogan com o qual começamos: o efeito de qualquer sistema linear, alternativo-invariante em um sinal de entrada arbitrário, é obtido por convolução do sinal de entrada com a resposta do sistema a um impulso unitário. (Observe que esta é a mesma propriedade de sistemas lineares que observamos no caso de correspondência de cores - onde poderíamos aprender tudo o que precisávamos saber sobre o sistema, avaliando-o com um conjunto limitado de entradas monocromáticas. Se o sistema fosse apenas Linear e não invariante em mudança, a analogia aqui seria investigar com impulsos unitários em cada valor de índice possível - cada uma dessas sondagens nos dando uma coluna da matriz do sistema. Isso era prático com um vetor de 31 elementos, mas ele Seria menos atraente com vetores de milhões ou bilhões de elementos No entanto, se o sistema também for invariável em mudança, uma sonda com apenas um impulso é suficiente, uma vez que as respostas de todos os casos deslocados podem ser preditos a partir dele.) A convolução pode sempre Ser visto como uma multiplicação de matriz - isso deve ser verdade, porque um sistema que pode ser implementado por convolução é um sistema linear (além de ser invariante por mudança). A invariação de mudança significa que a matriz do sistema possui redundâncias particulares. Quando a resposta do impulso é de duração finita, esse slogan não é apenas matematicamente verdadeiro, mas também é muitas vezes uma maneira prática de implementar o sistema, porque podemos implementar a convolução em um número fixo de amostras múltiplas por amostra de entrada (exatamente como Muitos, pois existem valores não-zero para a resposta de impulso dos sistemas). Os sistemas desse tipo geralmente são chamados filtros de resposta de impulso finito (FIR) ou filtros médios equivalentes. Quando a resposta de impulso é de duração infinita (como perfeitamente pode ser em um sistema linear alternativo-invariante), então este slogan permanece matematicamente verdadeiro, mas é de valor menos prático (a menos que a resposta de impulso possa ser truncada sem efeito significativo). Bem, aprenda mais tarde a implementar filtros de resposta de impulso infinito (IIR) eficientemente. A perspectiva do EEDSP. O objetivo desta seção é desenvolver o material básico sobre a resposta ao impulso e a convolução no estilo que é comum na literatura de processamento de sinais digitais na disciplina de Engenharia Elétrica, de modo a ajudá-lo a se familiarizar com o tipo de notação que você é É provável encontrar lá. Além disso, talvez revisar as mesmas idéias novamente em uma notação diferente irá ajudá-lo a assimilar thm - mas tenha cuidado para manter a notação DSPEE separada em sua mente da notação de álgebra linear, ou você ficará muito confuso. Nesta perspectiva, tratamos Um sinal digital s como uma seqüência infinitamente longa de números. Podemos adaptar a ficção matemática do infinito à realidade finita diária assumindo que todos os valores de sinal são zero fora de uma sub-sequência de tamanho finito. As posições em uma dessas seqüências de números infinitamente longas são indexadas por números inteiros, de modo que tomamos s (n) para significar o n-ésimo número em seqüência s, geralmente chamado de s de n para baixo. Às vezes, alternativamente, usaremos s (n) para se referir a toda a seqüência s. Pensando n como uma variável grátis. Vamos deixar um índice como n variar sobre negativos, bem como inteiros positivos, e também zero. Assim, onde as cintas curly são um conjunto de significados de notação, de modo que toda a expressão significa o conjunto de números s (n) onde n assume todos os valores de menos infinito até infinito. Referiremos os números individuais em uma sequência s como elementos ou amostras. A palavra amostra vem do fato de que geralmente pensamos nessas seqüências como versões de funções contínuas amostradas discretamente, como o resultado da amostragem de uma forma de onda acústica, alguns números finitos de vezes por segundo, mas na verdade nada que é apresentado nesta seção Depende de uma sequência que seja diferente de um conjunto de números ordenados. O impulso unitário ou a sequência da amostra unitária. Escrito, é uma seqüência que é um no ponto de amostra zero, e zero em qualquer outro lugar: o Sigma do capital grego,, pronunciou a soma. É usado como uma notação para adicionar um conjunto de números, tipicamente, tendo alguma variável assumida em um conjunto especificado de valores. Assim, a abreviatura é uma abreviatura. A notação é particularmente útil para lidar com somas sobre sequências. No sentido da seqüência usada nesta seção, como no exemplo simples a seguir. A seqüência da etapa da unidade. Escrito n (n), é uma seqüência que é zero em todos os pontos de amostra inferiores a zero e 1 em todos os pontos de amostra maiores ou iguais a zero: a seqüência da etapa da unidade também pode ser obtida como uma soma cumulativa do impulso da unidade: Até n -1 a soma será 0, uma vez que todos os valores de negativos n são 0 em n 0 a soma acumulada sai para 1, uma vez que a soma cumulativa fica em 1 para todos os valores de n maiores do que. Já que o resto dos valores de 0 são novamente. Este não é um uso particularmente impressionante da notação, mas deve ajudá-lo a entender que pode ser perfeitamente sensato falar sobre somas infinitas. Observe que também podemos expressar a relação entre u (n) e na outra direção: em geral, é útil falar sobre a aplicação das operações comuns da aritmética em seqüências. Assim, podemos escrever o produto das sequências x e y como xy. Significando a seqüência composta pelos produtos dos elementos correspondentes (não o produto interno): Da mesma forma, a soma das seqüências x e y pode ser escrita x y. Significando que uma seqüência x pode ser multiplicada por um escalar, com o significado de que cada elemento de x é individualmente multiplicado: Finalmente, uma seqüência pode ser deslocada por qualquer número inteiro de pontos de amostra: já usamos essa notação quando expressamos o impulso unitário Seqüência em termos da seqüência da etapa da unidade, como a diferença entre uma determinada amostra e a amostra imediatamente anterior. Qualquer sequência pode ser expressa como uma soma de amostras de unidades escaladas e deslocadas. Conceitualmente, isso é trivial: apenas fazemos, para cada amostra da sequência original, uma nova seqüência cujo único membro não-zero é aquela amostra escolhida, e somamos todas essas seqüências de amostra única para compor a seqüência original. Cada uma dessas sequências de amostra única (realmente, cada sequência contém infinitamente muitas amostras, mas apenas uma delas não é zero) pode, por sua vez, ser representada como um impulso unitário (uma amostra do valor 1 localizada no ponto) escalada pelo apropriado Valor e deslocado para o local apropriado. Em linguagem matemática, é aqui que k é uma variável que escolhe cada uma das amostras originais, usa seu valor para escalar o impulso da unidade e, em seguida, muda o resultado para a posição da amostra selecionada. Um sistema ou transformar T mapeia uma seqüência de entrada x (n) em uma seqüência de saída y (n):
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